设$f,g$是$[a,b]$上的[有界变差函数],则$f+g$也是$[a,b]$上的有界变差函数.

 

 

证明：设$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是对$[a,b]$的任意分割.由于$f$是$[a,b]$上的有界变差函数，因此

$$\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|<M_1$$

且

$$\sum_{i=0}^{n-1}|g(x_{i+1})-g(x_i)|<M_2$$

其中，$M_1$和$M_2$是固定的常数.因此

$$\sum_{i=0}^{n-1}|(f(x_{i+1})+g(x_{i+1}))-(f(x_i)+g(x_i))|=\sum_{i=0}^{n-1}|(f(x_{i+1})-f(x_i))+(g(x_{i+1})-g(x_i))|\leq \sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1}-f(x_i)|+\sum_{i=0}^{n-1}|g(x_{i+1}-g(x_i)|<M_1+M_2$$

可见，$f+g$是$[a,b]$上的有界变差函数.

 

 

 

设$f$和$g$都是$[a,b]$上的有界变差函数,则$f(x)g(x)$在$[a,b]$上有界变差函数.

证明：我先证明

若$f$是$[a,b]$上的有界变差函数，则$f^2$是$[a,b]$上的有界变差函数.

证明：设$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是对于$[a,b]$的任意分割，则

$$\sum_{i=0}^{n-1}|f^2(x_{i+1})-f^2(x_i)|=\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})+f(x_i)||f(x_{i+1})-f(x_i)|$$

根据，$f$是$[a,b]$上的有界函数.因此$\forall x\in [a,b]$,$|f(x)|\leq K$,其中$K$是给定正实数.因此

$$\sum_{i=0}^{n-1}|f^2(x_{i+1})-f^2(x_i)|=\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})+f(x_i)||f(x_{i+1})-f(x_i)|\leq \sum_{i=0}^{n-1}(|f(x_{i+1})|+|f(x_i)|)|f(x_{i+1})-f(x_i)|\leq \sum_{i=0}^{n-1}2K|f(x_{i+1}-f(x_i)|\leq 2KM$$

其中$M$是给定正实数.可见，$f^2$是$[a,b]$上的有界变差函数.

由于$fg=\frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}$,且根据同一个闭区间上两个有界变差函数的和仍然是有界变差函数，可得$fg$是有界变差函数.